无源系统的反馈互联

本示例阐释了无源系统反馈互联的特性。

无源系统的反馈互联

考虑两个子系统 $G_1$ 和 $G_2$ 以反馈形式互联。互联系统 $H$ 将输入 $r$ 映射到输出 $y_1$。

如果系统 $G_1$ 和 $G_2$ 均是无源的，则互联系统 $H$ 保证是无源的。例如：

$$G_1(s)=\frac{s^2+s+1}{s^2+s+4},G_2(s)=\frac{s+2}{s+5}.$$

通过以下命令确认两个系统都是无源的：

G1 = tf([1,1,1],[1,1,4]);
isPassive(G1)

ans = logical
1

G2 = tf([1,2],[1,5]);
isPassive(G2)

ans = logical
1

因此，互联系统也是无源的。

H = feedback(G1,G2);
isPassive(H)

ans = logical
1

通过验证 $H$ 的奈奎斯特图是正实的，可以确认这一点。

nyquist(H)

反馈互联的无源性指数

$G_1$ 和 $G_2$ 的无源性指数与互联系统 $H$ 的无源性指数之间存在关系。令 ${\nu }_1$ 和 ${\nu }_2$ 分别表示 $G_1$ 和 $G_2$ 的输入无源性指数，令 ${\rho }_1$ 和 ${\rho }_2$ 分别表示输出无源性指数。如果所有这些指数均为正，则反馈互联系统 $H$ 的输入无源性指数 $\nu$ 和输出无源性指数 $\rho$ 满足：

$$\nu \ge \frac{{\nu }_1{\rho }_2}{{\nu }_1+{\rho }_2},\rho \ge {\rho }_1+{\nu }_2.$$

换言之，我们可以从 $G_1$ 和 $G_2$ 的输入和输出无源性指数推断出闭环系统 $H$ 的输入和输出无源性的最低水平。有关详细信息，请参阅 Zhu, F. 和 Xia, M 以及 Antsaklis, P.J. 的论文：“Passivity analysis and passivation of feedback systems using passivity indices,” American Control Conference , 2014, pp. 1833-1838。验证输入无源性指数 $\nu$ 的下界。

% G1 的输入无源性指数
nu1 = getPassiveIndex(G1,‘input’);
% G2 的输出无源性指数
rho2 = getPassiveIndex(G2,‘output’);
% H 的输入无源性指数
nu = getPassiveIndex(H,‘input’)

nu = 0.1293

% 下界
nu1*rho2/(nu1+rho2)

ans = 7.1402e-11

类似地，验证 $H$ 的输出无源性指数的下界。

% G1 的输出无源性指数
rho1 = getPassiveIndex(G1,‘output’);
% G2 的输入无源性指数
nu2 = getPassiveIndex(G2,‘input’);
% H 的输出无源性指数
rho = getPassiveIndex(H,‘output’)

rho = 0.4441

% 下界
rho1+nu2

ans = 0.4000

另请参阅

getPassiveIndex | isPassive

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