前言

在刚做这道题时，我根本不知道蔡勒公式是什么，只是想自己总结一下规律，就问了Deepseek几个日期是星期几——结果他直接用蔡勒公式秒了.

我大为惊奇，就查了下资料，向大家介绍这个公式，以及这道题的蔡勒公式做法，希望对大家有帮助。

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正文

蔡勒公式（Zeller's Congruence）是一种快速计算给定日期是星期几的数学公式，由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller）于1883年提出。它适用于格里高利历（公历），能高效处理历史或未来日期的星期计算。

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一、公式的两种形式

蔡勒公式有两种版本，分别对应 月份的不同处理方式：

简化版（月份从3月开始计数）

• 将1月和2月视为上一年的13月和14月。（重点！）

• 例如：1900年1月 → 视为1899年13月；1900年2月 → 视为1899年14月

• 公式：

h: 星期几（0=星期六, 1=星期日, 2=星期一, ..., 6=星期五）

q: 日期（1-31）

m: 月份（3-14，对应1月到12月）

K: 年份的后两位（如1899年→K=99）

J: 年份的前两位（如1899年→J=18）

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扩展版（月份从1月开始计数）

扩展版的蔡勒公式（Zeller's Congruence）直接使用原始年份和月份，公式如下：

h: 星期几（0=星期日, 1=星期一, 2=星期二, ..., 6=星期六，注意与简化版映射不同！）

q: 日期（1-31）

m: 月份（1-12，无需调整，1月=1，2月=2）

J: 年份的前两位（如2023年→J=20）

K: 年份的后两位（如2023年→K=23）

扩展版与简化版的对比

特性	简化版	扩展版
月份处理	1月和2月需调整为13和14月	直接使用1-12月，无需调整
结果映射	0=星期六, 1=星期日, ..., 6=星期五	0=星期日, 1=星期一, ..., 6=星期六
公式项差异	使用 13(m+1)/5	使用 13(m+3)/5

二、公示证明

（这里给出的是简化版证明）

一、基准日与目标日期的天数差

1. 选择基准日：
   通常选择某年的3月1日作为基准（因为1月和2月被视为上一年的13月和14月，简化了闰年计算）。

2. 目标日期：
   设目标日期为 q年m月d日（若m=1或2，则视为m+12月，年份减1）。

3. 计算总天数差：
   总天数差 = 年份贡献 + 月份贡献 + 日期贡献。

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二、分解各部分的贡献

1. 年份贡献

• 平年贡献：每平年贡献365天，即365mod  7=1365mod7=1天。

• 闰年贡献：每闰年多1天（2月29日），即额外贡献1天。

• 总年份贡献：

  年份天数=(年份差×365+闰年数)mod  7年份天数=(年份差×365+闰年数)mod7

  其中，闰年数由公式中的 ⌊K/4⌋+⌊J/4⌋体现。

2. 月份贡献

• 各月的天数差异通过 月份修正项 ⌊13(m+1)/5⌋近似。

• 推导逻辑：
  假设每月平均约30.6天，通过调整系数抵消月份天数的波动。例如：

  • 3月（m=3）：修正项为 ⌊13×4/5⌋=10,对应3月贡献0天（基准月）。

  • 4月（m=4）：修正项为 ⌊13×5/5⌋=13,对应4月贡献3天（31天）。

  • 依次类推，修正项将月份差异转化为整数偏移。

3. 日期贡献

• 直接使用日期 q，即 d 天。

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三、整合公式

将年份、月份和日期的贡献相加，并取模7：

代码展示

（仅供学习用）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ll[10];
//蔡勒公式
int zeller(int q, int m, int J, int K) {
    if (m == 1 || m == 2) {
        m += 12;
        int year = J * 100 + K - 1;  
        J = year / 100;              
        K = year % 100;              
    }
    int h = (q + 13*(m+1)/5 + K + K/4 + J/4 + 5*J) % 7;
    h%=7;
    return h;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int y=1900;
	while(1900+n-1>=y){
		for(int i=1;i<=12;i++){
			ll[zeller(13,i,y/100,y%100)]++;
		}
		y++;
	}
	for(int i=0;i<=6;i++){
		cout<<ll[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

后记

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