最优分组（java）

E=阴性消耗×阴性概率+阳性消耗×阳性概率=1×(1−p)K+(K+1)×[1−(1−p)K]=(1−p)K+(K+1)−(K+1)(1−p)K=K+1−K(1−p)K（合并同类项）E=阴性消耗×阴性概率+阳性消耗×阳性概率=1×(1−p)K+(K+1)×[1−(1−p)K]=(1−p)K+(K+1)−(K+1)(1−p)K=K+1−K(1−p)K（合并同类项）。让deepseek给我解释了一

2301_76231651

885人浏览 · 2025-03-28 11:38:27

2301_76231651 · 2025-03-28 11:38:27 发布

分步详解数学推导核心

一、单组检测期望计算（以K只为一组）

1. 混合阴性概率：(1−p)K(1−p)K

逻辑：每只宠物未被感染的概率为(1−p)(1−p)，且各宠物感染独立。
推导：同时满足所有K只未被感染的概率 = (1−p)×(1−p)×⋯×(1−p)⏟K次=(1−p)KK次(1−p)×(1−p)×⋯×(1−p)=(1−p)K.
测试剂消耗：只需1次混合检测 → 消耗1剂.

2. 混合阳性概率：1−(1−p)K1−(1−p)K

逻辑：混合阳性 = 至少1只被感染。
推导：混合阳性的概率 = 1 - 全阴性的概率 = 1−(1−p)K1−(1−p)K.
测试剂消耗：1次混合检测 + K次单独检测 → 消耗K+1K+1剂.

3. 单组期望公式推导

定义：期望值 = 所有可能结果的（值 × 概率）之和.
公式展开：

直观理解：当全阴性时节省KK剂（原需K+1K+1剂，现只需1剂），因此期望值 = 最大消耗K+1K+1剂 - 节省的K×(1−p)KK×(1−p)K剂.

二、总消耗计算（N只宠物分组）

1. 总组数：NKKN

条件：题目要求均分，即NN必须能被KK整除（代码中会跳过非整除的KK）.

2. 总期望公式推导

公式： TotalE=NK×[K+1−K(1−p)K]TotalE=KN×[K+1−K(1−p)K]
拆解：
- 每组期望为K+1−K(1−p)KK+1−K(1−p)K.
- 总组数为NKKN，每组贡献的期望消耗相加即总期望.
简化形式： TotalE=N(1+1K)−N(1−p)KTotalE=N(1+K1)−N(1−p)K 进一步体现总消耗与KK的关系（优化目标为最小化TotalETotalE）.

三、关键推导验证（举例说明）

案例：N=100N=100, p=0.1p=0.1, K=5K=5

单组期望计算：
- (1−p)K=0.95≈0.5905(1−p)K=0.95≈0.5905.
- E=5+1−5×0.5905≈6−2.9525=3.0475E=5+1−5×0.5905≈6−2.9525=3.0475.
总期望计算：
- 总组数 = 100/5=20100/5=20.
- TotalE=20×3.0475=60.95TotalE=20×3.0475=60.95.

对比K=10K=10:

(1−p)K=0.910≈0.3487(1−p)K=0.910≈0.3487.
E=10+1−10×0.3487≈11−3.487=7.513E=10+1−10×0.3487≈11−3.487=7.513.
总组数 = 100/10=10100/10=10.
TotalE=10×7.513=75.13TotalE=10×7.513=75.13. 结论：K=5K=5比K=10K=10更优（60.95 < 75.13）.

四、常见疑问解答

Q1：为什么混合检测能节省试剂？

答：全阴性时只需1剂，否则需K+1K+1剂。当pp较小时，全阴性概率高，节省显著。

Q2：为何总期望公式中有NK×(K+1)KN×(K+1)？

答：假设每组必为阳性时的最坏情况（每组消耗K+1K+1剂），总消耗为NK×(K+1)=N+NKKN×(K+1)=N+KN. 实际期望需减去全阴性时的节省量N(1−p)KN(1−p)K.

Q3：如何直观理解最优KK？

平衡点：增大KK会减少组数（降低NKKN），但单组阳性概率上升（增加K+1K+1消耗）。最优KK是两者的平衡结果。

怎么说呢，做的我是心力憔悴呀，我丢

一看这个题感觉整个人都蒙了，不知道他在说啥

看了好几遍也没看懂

让deepseek给我解释了一下题目的含义，我才反应过来，这他么的是求消耗试剂数量的最小期望呢

emm,自己又推导了一下代码如下：



import java.util.Map;
import java.util.Scanner;

/**
 * @author zb
 * date2025/3/28 10:51
 */
public class Main {
//    public static void main(String[] args) {
//        Scanner in =new Scanner(System.in);
//            int n =in.nextInt();
//            double p = in.nextDouble();
//            int mink = Integer.MAX_VALUE;
//            int num =0;
//            double min = Double.MAX_VALUE;
//
//double sum = 0;
//        for (int k = 1; k <=n ; k++) {
//
//            if(k==1){
//               sum =n;
//               if(sum<min){
//                   min =sum ;
//                   mink = k ;
//               }
                System.out.println(k +"    "+sum);
//            }else if(n%k==0){
//                double ying = Math.pow(1-p,k);
//                double yang  =1- ying ;
//                sum  = 1.0*n/k*(1+k-k*ying);
                System.out.println(k +"   "+sum);
//                if(sum<min){
//                    min = sum;
//                    mink = k;
//
//                }
//
//
//            }
//        }
//        System.out.println(mink);
//
//
//        in.close();
//    }
public static void main(String[] args) {
    Scanner in =new Scanner(System.in);
    int n =in.nextInt();
    double p = in.nextDouble();
    int mink = Integer.MAX_VALUE;
    int num =0;
    int min = Integer.MAX_VALUE;

    int  sum = 0;
    for (int k = 1; k <=n ; k++) {

        if(k==1){
            sum =n;
            if(sum<min){
                min =sum ;
                mink = k ;
            }
//                System.out.println(k +"    "+sum);
        }else if(n%k==0){
            double ying = Math.pow(1-p,k);
            double yang  =1- ying ;
            sum  = (int) (1.0*n/k*(1+k-k*ying));
//                System.out.println(k +"   "+sum);
            if(sum<min){
                min = sum;
                mink = k;

            }


        }
    }
    System.out.println(mink);


    in.close();
}
}