写在最前面的话

为什么做该博客？该博客的特点是什么？
随着DeepSeek、ChatGPT等AI技术的崛起，促使机器人技术发展到了新的高度，诞生了宇树科技、特斯拉为代表的人形机器人，四足机器人等等，越来越多的科技巨头涌入机器人赛道，行业对于相关人才的需求也随之达到了顶峰。本博客的内容是替你阅读所有关于机器人的经典书籍，采用书籍瘦身计划，帮你提炼出核心内容，采用最通俗易懂的语言来解释原理，将书读薄。大大缩短学习时间，助你快速成为机器人时代的佼佼者。

---

---

一、书籍介绍

《机器人学导论（原书第4版）》是约翰·J·克雷格的经典教材，系统讲解机器人运动学、动力学与控制理论，结合MATLAB实践，适合本科高年级与研究生学习。新增深度学习应用等内容，兼顾基础与前沿。

---

二、第4章 操作臂逆运动学（提炼总结）

4.1节 引言（提炼总结）

• 本章研究已知工具坐标系相对固定坐标系的期望位置和姿态，求解满足期望要求的关节角

4.2节 解的存在性（提炼总结）

• 操作臂逆运动学解的存在性主要取决于以下几个关键因素：
  1、工作空间限制‌
• 可达工作空间‌：指操作臂末端执行器至少能以一种姿态到达的空间区域。
• 灵巧工作空间‌：末端执行器能以任意方向到达的区域，通常为可达工作空间的子集。
  2、自由度要求‌
• 若操作臂自由度 n<6，其工作空间会被限制在 n 维子空间内，无法达到三维空间中任意位姿。
• 对于冗余机械臂（如自由度 n>6），可通过优化目标函数（如关节角度靠近预设运动中点）求解逆运动学。
  3、关节运动范围‌
• 实际关节的旋转范围若不足360°，会进一步缩小工作空间或减少可达姿态数量。
  4、解的存在性判断方法‌
• 代数解法‌：通过余弦定理等约束条件检查目标点是否在可达范围内。若约束不满足，则无解。
• 几何解法‌：将空间几何问题分解为平面几何，直接求解关节角度。
  5、多解与子空间逼近‌
  当目标点不可达时，可寻找操作臂子空间内最接近的可行解。
• 操作臂的全部求解方法分为两大类：
  1、封闭解
• 定义‌：通过有限次基本运算（加减乘除、指数、对数等）直接表达的精确解，形式通常为显式函数或公式。
• 特点‌：
  精确性：严格满足方程，无近似误差；
  通用性：对任意自变量可直接计算因变量；
  效率高：计算速度通常在微秒级。
  2、数值解
• 定义‌：通过迭代或离散化方法逼近的解，依赖数值计算而非解析表达式。
• 特点‌：
  近似性：存在截断或舍入误差；
  适用性：可处理高维、非线性等复杂问题；
  计算成本：需多次迭代，耗时较长（毫秒级）。

4.3节 当n＜6时操作臂子空间的描述（提炼总结）

• 见4.2节 2、自由度要求

4.4节 代数解法和几何解法（提炼总结）

• 代数解法：
  ‌1、基本原理‌
  通过建立正运动学方程并代数变换求解关节变量。

• 关键步骤包括：平方相加消元、利用余弦定理检查解的存在性（若cosθ₂∈[-1,1]则有解）。

• 需通过二象限反正切公式确定所有可能解，并筛选符合关节限制的可行解。
  ‌2、适用场景‌
  适用于结构对称或自由度较少的机械臂，理论推导严谨但计算复杂度较高。

• 几何解法
  ‌1、基本原理‌
  将空间几何问题分解为平面几何关系，直接利用几何工具（如余弦定理、三角形性质）求解关节角。

• 例如：通过操作臂连杆构成的三角形，计算θ₂；再结合角度叠加关系求θ₁和θ₃。

• 可直观判断工作空间限制（如两连杆操作臂的圆环可达区域）。
  2‌、适用场景‌
  更适用于结构简单或平面型机械臂，计算效率高且易于理解，但对复杂空间结构适应性较差。

4.5节 简化成多项式的代数解法（提炼总结）

• 把超越方程变换为多项式方程进行求解
• 超越方程：是指包含超越函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的方程，这类方程无法通过有限次代数运算（加、减、乘、除、开方）求解，与代数方程相对‌。

4.6节 三轴相交的Pieper解法（提炼总结）

• Pieper解法是六自由度机械臂逆运动学求解的经典方法，适用于满足特定几何条件的机械臂构型。其核心内容和特点如下：
  ‌一、适用条件‌
  1、关节类型要求‌
  需满足6个旋转关节且后3个关节轴相交于一点（如PUMA560构型），或存在三个相邻平行关节轴（如UR系列构型）。
  2、Pieper准则‌
  机械臂存在封闭解的充分条件为以下之一：
• 三个相邻关节轴相交于一点
• 三个相邻关节轴相互平行
  ‌二、求解步骤‌
  ‌1、分解问题‌
• 前三个关节‌：通过腕部坐标系原点位置求解（θ₁、θ₂、θ₃），通常利用几何关系或代数方程（如余弦定理）。
• 后三个关节‌：通过末端姿态求解（θ₄、θ₅、θ₆），采用Z-Y-Z欧拉角分解或其他旋转矩阵方法。
  ‌三、特点与优势‌
  ‌1、高效性‌
  解析解计算速度可达微秒级，适用于实时控制。
  ‌2、多解性‌
  后三个关节通常存在两组解，总解数为前三个关节解数的2倍。
  ‌3、局限性‌
  仅适用于满足Pieper准则的构型，通用性较差。

4.7节 实例：操作臂逆运动学实例（提炼总结）

• 求解机械臂逆运动学主要通过以下方法实现，结合封闭解与数值解技术：
  一、封闭解
  适用于特定结构的机械臂，通过有限次代数运算直接获得精确解。
  1‌、几何法‌
• 通过空间几何关系直接推导关节角，如两连杆平面机械臂利用三角函数关系求解。
• 典型案例：Pieper解法（后三轴相交的6自由度机械臂）通过几何分解降低求解维度。
  ‌2、代数法‌
• 基于DH参数建立方程，通过代数变换（如矩阵分解、三角恒等式）求解，如UR机械臂的解析逆解。
• 需满足条件：方程可解析求解（如低次多项式或特殊超越方程）。
  二、数值法
  适用于复杂或冗余系统，通过迭代优化逼近解。
  ‌1、雅可比矩阵法‌
• 利用雅可比伪逆或转置矩阵迭代修正关节角，适用于冗余机械臂。
• 缺点：依赖初值选择，可能陷入局部最优。
  2‌、优化算法‌
• 构建目标函数（如关节靠近运动中点），结合约束条件（关节限位、末端位姿）进行数值优化。

4.8节 标准坐标系（提炼总结）

• 见上一章标准坐标系相关内容

4.9节 操作臂求解（提炼总结）

• SOLVE函数：用于计算操作臂逆运动学的核心函数，其功能是将末端执行器的位姿转换为对应的关节角度

4.10节 重复精度和精度（提炼总结）

• 精度：单次运动时实际位置与目标位置的偏差，反映系统到达指定位置的绝对准确性
• 重复精度：多次返回同一位置时实际位置的最大离散度，反映系统的一致性

4.11节 计算问题（提炼总结）

• 操作臂的逆运动学需要以相当高的速率计算

---

三、实战

问题：matlab编程实现puma560从一个确定的初始位置（0，0，0），到达一个指定的最终位置（0.5，0.3，0.2）的逆运动学求解，并显示运动轨迹
解答：
1、编写程序

% 加载机器人模型
robot = loadrobot('puma560','DataFormat','row');
q0 = [0 0 0 0 0 0];
T_goal = transl(0.5,0.3,0.2)*trotx(pi/4);

% 逆运动学求解
ik = inverseKinematics('RigidBodyTree',robot);
[q_sols,~] = ik('link6',T_goal,[1 1 1 1 1 1],q0);

% 可视化设置
figure;
show(robot,q0);
hold on; axis equal;
plot3(T_goal(1,4),T_goal(2,4),T_goal(3,4),'ro');

% 动画实现
for i = 1:size(q_sols,1)
    q = jtraj(q0, q_sols(i,:), linspace(0,1,50));
    for j = 1:size(q,1)
        show(robot,q(j,:),'PreservePlot',false);
        drawnow;
    end
end

2、显示结果