提示词

我正在学习大模型，第一步是掌握大模型的数学基础。帮助我整理下

一、核心数学模块

1. 线性代数

   • 核心概念：向量、矩阵、张量的定义与运算（如矩阵乘法、转置、求逆）；特征值与特征向量的计算（用于模型权重分析）；奇异值分解（SVD）等。
   • 重要性：大模型的参数通常以高维矩阵形式存储，矩阵运算贯穿模型的前向传播和反向传播过程。

2. 概率论与统计学

   • 核心概念：随机变量、概率分布（正态分布、二项分布、泊松分布）、贝叶斯定理；期望、方差、协方差；统计推断（如假设检验）。
   • 重要性：用于建模数据不确定性（如语言模型的词频分布）、评估模型性能（如置信区间）。

3. 微积分

   • 核心概念：导数（尤其是偏导数）、梯度、链式法则；积分与最优化（如梯度下降法的数学推导）。
   • 重要性：优化算法（如Adam、SGD）依赖梯度计算，反向传播的核心是微积分的链式法则。

4. 优化理论

   • 核心概念：梯度下降法、牛顿法、凸优化原理；学习率调整策略（如学习率衰减）。
   • 重要性：大模型训练的核心是参数优化，需理解如何通过数学方法高效寻找损失函数最小值。

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二、学习策略与资源推荐

1. 分阶段学习

   • 第一阶段：掌握基础概念（如矩阵运算、梯度计算），推荐《线性代数及其应用》（Gilbert Strang）和Khan Academy的微积分课程。
   • 第二阶段：结合实践理解数学原理（如通过PyTorch实现反向传播），避免纯理论学习导致倦怠。

2. 工具辅助实践

   • 使用Python库（如NumPy、SymPy）验证数学公式，例如手动实现梯度下降算法。
   • 在深度学习框架（如PyTorch）中观察张量运算的实际应用。

3. 资源推荐

   • 书籍：

• 《概率论与随机过程》（Sheldon Ross）
• 《深度学习》（Ian Goodfellow）中的数学章节
  • 课程：
• Coursera《Mathematics for Machine Learning》
• 3Blue1Brown的线性代数可视化教程

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三、注意事项

• 避免过早陷入复杂公式：部分资料建议先通过感性认知（如模型调用）激发兴趣，再逐步深入数学原理。
• 结合编程实践：例如用NumPy实现矩阵分解，用PyTorch观察梯度变化，将抽象数学与代码结合。
• 注重统计学应用：大模型的评估指标（如准确率、F1值）和不确定性量化（如蒙特卡洛方法）依赖统计知识。

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线性代数

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提示词

我正在学习大模型，第一步是掌握大模型的数学基础, 我想学习如下内容，教教我： 线性代数 核心概念：向量、矩阵、张量的定义与运算（如矩阵乘法、转置、求逆）；特征值与特征向量的计算（用于模型权重分析）；奇异值分解（SVD）等。 

让AI出两个练习题

提示词:

给我出一个求行列式的题和一个求矩阵逆的例题, 是3*3的举证。并给出求解过程

好的，下面是关于求行列式和求矩阵逆的例题，以及其详细的解题过程。

例题 1：求行列式

给定矩阵：

**求**。

#### 解题过程：

行列式的计算可以使用递归展开或简化计算。这里我们用递归展开法。

对于3x3矩阵的行列式，可以使用如下公式：

其中 \( A_{ij} \) 是从矩阵 \( A \) 中去掉第 \( i \) 行和第 \( j \) 列后得到的矩阵。

对于矩阵 \( A \):

计算每个2x2行列式：

1.

2.

3.

将这些值代入行列式的计算公式中：

因此，行列式 。

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例题 2：求矩阵的逆

给定矩阵：

**求矩阵 的逆**。

解题过程：

要找到矩阵 \( B \) 的逆，首先需要验证该矩阵的行列式不为零，然后利用伴随矩阵法或行列式法计算逆矩阵。

1. **计算行列式 \( \det(B) \)**：
 

   计算每个2x2行列式：
   -
   -
   -

   将这些代入：
 

   因为 \( \det(B) \neq 0 \)，所以 \( B \) 可逆。

2. **计算逆矩阵 \( B^{-1} \)**：
   逆矩阵公式为：

   其中 \( \text{adj}(B) \) 是矩阵 \( B \) 的伴随矩阵。

   先计算每个元素的代数余子式：
 

   计算各个代数余子式：
   - （已计算过）
   - （已计算过）
   - (已计算过）
   -
   -
   -
   -
   -
   - （已计算过）

   因此，伴随矩阵为：
 

3. **求逆**：
 

总结

通过这两个例题，我们学习了如何计算3x3矩阵的行列式和逆矩阵。这些计算对于理解线性代数中的重要概念至关重要。 如果有任何问题或需要进一步的讨论，请告知我！

 

学习了矩阵行列式求法，矩阵的逆的求法，伴随矩阵的求法，理解矩阵初等变换，增广矩阵，高斯消元法，问了AI这些方法的实际意义和应用场景。