数学在AI不同领域的应用区别

一、计算机视觉领域

1.线性代数

• 图像变换：
  想象我们有一张二维图片，图片里有个点，它的位置用坐标((x, y))表示 。现在我们想把这个点绕着图片的原点（就像把纸钉在墙上，以钉子的位置为中心）逆时针旋转一定角度(\theta) 。那旋转后这个点的新位置((x’, y’))怎么算呢？可以通过下面这个矩阵乘法来计算：

  $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

这里的($\cos \theta$)和($\sin \theta$)是根据旋转角度($\theta$)算出来的三角函数值，通过这个矩阵乘法就能得到旋转后点的新坐标。

• 图像压缩（奇异值分解SVD）：
  一幅图像可以看成是一个由数字组成的矩阵，假设这个矩阵大小是($m\times n$) ，我们把它叫做($A$) 。奇异值分解（SVD）能把这个矩阵($A$)分解成三个矩阵相乘的形式，也就是($A=U\Sigma V^T$) 。这里面($U$)是一个($m\times m$)的特殊矩阵，叫正交矩阵；($\Sigma$)是($m\times n$)的对角矩阵，对角线上的元素就是奇异值；($V$)是($n\times n$)的正交矩阵。

在进行图像压缩的时候，我们发现那些比较大的奇异值对图像的主要信息影响大，小的奇异值影响小。所以就保留大的奇异值以及它们对应的那些向量（也就是奇异向量），把小的奇异值扔掉，这样就能在不怎么影响图像主要内容的情况下，减少图像的数据量，实现图像压缩。

2.微积分

在训练图像识别模型的时候，我们得想办法让模型预测得更准。这时候就用到了均方误差损失函数($L(\theta )$)，它的计算公式是($L(\theta )=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$) 。这里面($N$)就是我们用来训练模型的样本数量，($y_i$)是实际的真实值，(${\hat{y}}_i$)是模型预测出来的值，($\theta$)是模型里那些可以调整的参数。

那怎么调整这些参数让损失函数的值变小，也就是让模型预测得更准呢？这就用到了梯度下降法。它通过计算损失函数关于参数($\theta$)的梯度($\nabla L(\theta )$)来更新参数，更新公式是：

$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\eta \nabla L({\theta }_t)$$

这里($\eta$)叫学习率，它控制每次参数更新的步子大小；($t$)代表迭代次数，每次按照这个公式更新参数，就希望损失函数的值越来越小，模型预测得越来越好。

3.概率论与统计

在图像分类的贝叶斯方法里，我们要用到贝叶斯定理，公式是
$$P(C|I)=\frac{P(I|C)P(C)}{P(I)}$$ 这里($C$)代表图像可能属于的类别，比如是猫还是狗；($I$)就代表我们要分类的这张图像。($P(C)$)是类别©出现的先验概率，简单说就是在没看到这张图像之前，我们根据以往经验认为这个类别出现的可能性。($P(I|C$))是在类别($C$)的情况下，出现这张图像($I$)的似然概率，也就是如果这张图真的是类别($C$)，出现这样图像特征的可能性多大。($P(I)$)是图像($I$)出现的概率，一般当作归一化常数。

我们通过这个公式，计算出不同类别($C$)对应的($P(C|I)$)，这个值叫后验概率，就是在看到图像($I$)之后，它属于类别($C$)的概率。最后我们选那个后验概率最大的类别，作为这张图像的分类结果。

二、自然语言处理领域

• 线性代数：
  • 词向量表示（以Word2Vec的Skip - Gram模型为例）：假设词向量维度为$d$，对于中心词$w_c$和上下文词$w_o$，通过模型计算它们之间的相似度得分，例如使用点积计算：$s(w_c,w_o)=v_{w_c}^T{v}_{w_o}$，其中$v_{w_c}$和$v_{w_o}$分别是中心词和上下文词的$d$维向量表示。
  • 文本分类：将文本表示为特征向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$，分类器的权重向量为$\mathbf{w}=[w_1,w_2,\cdots ,w_n]$，则分类得分$y={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b$，其中$b$是偏置。
• 微积分：在训练循环神经网络（RNN）时，以简单RNN的单个时间步为例，隐藏状态$h_t$的更新公式为$h_t=\sigma (W_{xh}{x}_t+W_{hh}{h}_{t-1}+b_h)$，其中$\sigma$是激活函数，$W_{xh}$是输入到隐藏层的权重矩阵，$W_{hh}$是隐藏层到隐藏层的权重矩阵，$b_h$是隐藏层偏置。在训练过程中，通过计算损失函数（如交叉熵损失函数$L=-{\sum }_{i=1}^N{y}_i\log {\hat{y}}_i$，其中$y_i$是真实标签的one - hot向量，${\hat{y}}_i$是模型预测的概率分布）关于权重参数的梯度，利用基于微积分的优化算法（如Adagrad算法，参数更新公式为${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\frac{\eta }{\sqrt{G_{tt}+ϵ}}\nabla L({\theta }_t)$，其中$G_{tt}$是梯度平方和的累积）来更新参数。
• 概率论与统计：
  • n - gram语言模型：计算下一个单词$w_n$在给定前$n-1$个单词$w_1^{n-1}$的概率$P(w_n|w_1^{n-1})=\frac{C(w_1^n)}{C(w_1^{n-1})}$，其中$C(w_1^n)$是单词序列$w_1^n$在语料库中出现的次数，$C(w_1^{n-1})$是单词序列$w_1^{n-1}$在语料库中出现的次数。
  • 基于统计的机器翻译模型：例如IBM模型1，假设源语言句子$f$和目标语言句子$e$，翻译概率$P(e|f)={\prod }_{i=1}^{|e|}P(e_i|f_{a_i})$，其中$a_i$是源语言中与目标语言第$i$个词对齐的位置。

三、语音识别领域

• 线性代数：
  • 梅尔频率倒谱系数（MFCC）计算：在将语音信号从时域转换到频域时，使用离散傅里叶变换（DFT）$X(k)={\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$，其中$x(n)$是时域信号，$X(k)$是频域信号，$N$是信号长度。后续在计算MFCC过程中还涉及到滤波器组的线性组合等基于线性代数的运算。
• 微积分：在训练深度神经网络（DNN）用于语音识别时，假设使用连接时序分类（CTC）损失函数$L=-{\sum }_{t=1}^T\log p(y_t|x)$，其中$x$是输入的语音特征序列，$y_t$是在时间步$t$的预测标签。通过计算该损失函数关于模型参数的梯度，利用随机梯度下降（SGD）及其变种（如Adagrad、Adadelta等）来更新参数。以SGD为例，参数更新公式为${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\eta \nabla L({\theta }_t)$。
• 概率论与统计：在隐马尔可夫模型（HMM）中，有状态转移概率$P(q_{t+1}=j|q_t=i)$，表示在时刻$t$处于状态$i$，在时刻$t+1$转移到状态$j$的概率；观测概率$P(O_t=v_k|q_t=i)$，表示在时刻$t$处于状态$i$时，观测到符号$v_k$的概率。通过前向 - 后向算法计算在给定观测序列$O=O_1{O}_2\cdots O_T$下模型的概率$P(O|\lambda )$，并利用Baum - Welch算法进行参数估计，以优化模型性能。

四、数学在AI不同领域应用的逻辑图

数学分支	计算机视觉应用	自然语言处理应用	语音识别应用
线性代数	图像变换（旋转矩阵乘法公式）、压缩（SVD分解公式）	词向量相似度计算（点积公式）、文本分类（线性分类公式）	语音特征提取（DFT公式等）
微积分	模型训练优化（梯度下降公式）	模型训练优化（交叉熵损失函数及Adagrad更新公式等）	模型训练优化（CTC损失函数及SGD更新公式等）
概率论与统计	图像分类（贝叶斯定理公式）	语言模型（n - gram概率公式）、机器翻译（IBM模型1公式）	语音识别（HMM状态转移和观测概率公式、前向 - 后向算法等）

五、参考资料

1. Paul’s Online Math Notes
   网站有详细的高等数学学习笔记。内容涵盖微积分、线性代数等多个高等数学分支。笔记编写得通俗易懂，并且有大量的例题和详细的解题步骤。对于自学高等数学的人来说，是一个很好的辅助工具，可以帮助他们更好地理解教材内容和解决课后作业中的问题。
2. Wolfram MathWorld
   这是一个数学知识百科全书式的网站。对于高等数学中的各种概念、定理、公式都有详细的解释。比如在查询 “泰勒级数”
   时，它不仅会给出泰勒级数的定义、公式，还会有相关的历史背景、应用案例以及与其他数学概念的联系。它还提供了许多交互式的数学工具，帮助学习者进行数学实验和探索。
3. 中国大学 MOOC
   这是一个汇聚了国内众多高校优质课程的平台。在高等数学方面，有各个学校的名师授课。例如，同济大学的《高等数学》课程，这门课程在国内高校中被广泛使用，课程在平台上有完整的教学视频、课件以及配套的练习题，可以很好地帮助学习者学习国内高校主流的高等数学知识体系。